七年级数学上册知识点总结第一章

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第一章有理数

一.正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数

注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)

②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:

零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃

支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量,它们计数:

比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反,比原先少了的数,减少降低了的数一般记为负数。

3.0表示的意义

⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;

⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。

二.有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。

2. (1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数;

(2)有理数的分类: ①按正、负分类:

②按有理数的意义来分:

总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

(3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;

(4)自然数? 0和正整数;a>0 ? a是正数;a<0 ? a是负数;

a≥0 ? a是正数或0 ? a是非负数;a≤ 0 ? a是负数或0 ? a是非正数.

三.数轴

⒈数轴的概念

规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大(小)数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;

⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;

⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0

⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。

四.相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个;

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。

说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);0的相反数还是0;

⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);注意: a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5);)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数

5.相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。

当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)

当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)

当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

五.绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。

可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)

②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即 (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;

⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.绝对值可表示为:或 ;即:|a|≥0;绝对值的问题经常分类讨论;

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a; ; ;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。

(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的数总比右边的数小,或者右边的数总比左边的数大

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。

(3)正数的绝对值越大,这个数越大;

(4)正数永远比0大,负数永远比0小;

(5)正数大于一切负数;

(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0.

5.绝对值的化简

①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a

6.已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。

六.有理数的加减法.

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

⑶互为相反数的两数相加,和为零;

⑷一个数与0相加,仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律:a+b=b+a

⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;

④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:

⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b

4.有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

七.有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)

法则二:任何数同0相乘,都得0;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;

法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。

互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数.

注意:①0没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;

③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,

(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0

5.有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。

八.有理数的乘方

1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 中,a 叫做底数,n 叫做指数。

(1)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0 ? a=0,b=0;

(2)据规律 底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位

2.乘方的性质

(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数;注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .

(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

九.有理数的混合运算

做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:

1.先乘方,再乘除,最后加减;

2.同级运算,从左到右进行;

3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

十.科学记数法

把一个大于10的数表示成 的形式(其中, n是正整数),这种记数法是科学记数法

近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.

混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.

特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

等于本身的数汇总:

相反数等于本身的数:0

倒数等于本身的数:1,-1

绝对值等于本身的数:正数和0

平方等于本身的数:0,1

立方等于本身的数:0,1,-1.


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