初中数学一次方程、二次函数与不等式知识

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初中数学二次函数知识点汇总

快来看啦!最近小数老师在留言里看到好多人要关于二次函数的知识点,所以今天特意做了一些总结,边看边学,效果更好哦!

定义与定义表达式

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0

此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

初中数学一次方程不等式知识汇总

等式与方程

1、等式:用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。

2、方程:含有未知数的等式叫做方程。

注意:

(1)等式中必须含有等号,故不含等号的式子就不是等式;

(2)方程必须是等式,并且含有未知数,两个条件须同时具备;

(3)方程中可以含有几个未知数。

例题1、下列式子中,哪些是等式?哪些是方程?

(1)?1+7=6

(2)x+7=6

(3) x+7

(4)x+7=7?x

(5)4+7=7十4

(6)y3=1

(7)4x+y=7

方程中的项、系数、次数等概念

1、项:在方程中,被“+”、“-”,号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。

2、未知数的系数:在一项中,写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。

3、项的次数:在一项中,所有未知数的指数和称为这一项的次数。

4、常数项:不含未知数的项,称为常数项。

列方程的方法

1、列方程:为了求得未知数,在未知数和已知数之间建立一种等量关系,就是列方程。

2、列方程可分两步进行:第一步先根据题设条件设未知数;第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系,从而得到方程。

例题2、根据条件列方程:

(1)某数的平方与它的4倍互为相反数

(2)某数的相反数与8的差等于这个数的倒数

(3)购买一本书,打八折比打九折少花2元钱,求这本书的原价

例题3、根据下列条件列出方程:

(1)a与6两数和的平方等于1

(2)a与6两数平方的和等于1

方程的解和解方程

方程的解:使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

解方程:求方程的解的过程叫做解方程

注意:

(1)方程的解一定能使方程左右两边的值相等;

(2)方程的解和解方程是两个不同的概念,它们一个是求得的结果,一个是变形的过程,要区别开,方程的解中的“解”是名词,解方程概念中“解”是一个动词。

一元一次方程的概念

1、概念:在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。如:x+7=7?x

2、一元一次方程的最简形式:ax=b(a≠0)

3、一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0)

注意:理解一元一次方程的概念应把握:

(1)是一个方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的次数是1;

(4)化简后未知数的系数不能为0;

(5)分母不能含有未知数。

等式基本性质

1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式,所得结果仍是等式。

2:等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式。

注意:

(1)运用等式基本性质1时,一定要注意等式两边同时加上<或减去)同一个数或同一个代数式,才能保证所得结果仍是等式,这里要特别注意“同时”和“同一个”;

(2)运用等式基本性质2时,除了要注意等式两边同时乘以(或除以)同一个数,才能保证所得结果仍是等式以外,还必须注意,等式两边不能都除以O,因为0不能作除数或分母;

(3)等式还有其他的一些性质,在解方程中也时常会用到,它们是:对称性:如果a=b,那么b=a.即等式的左、右两边交换位置,所得结果仍是等式。

传递性:如果a=b,且b=c,那么a=c。这条性质也叫做等量代换。

利用等式的基本性质解一元一次方程

1、求方程的解的过程叫做解方程

2、具体步骤如下:

(1)利用等式的性质解一元一次方程,一般是先利用等式性质1,然后再利用等式性质2,将ax=?b变形为x=?ba即可。

(2)移项法则:方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,这个法则称为移项法则,移项的根据是等式的基本性质1。

注意:

(1)移项时,不要忘记对移动的项变号,如从3+4x=7得到4x= 7+3,是错误的;

(2)没移项时,不要误以为有移项,如从?5=x,得到x= 5,这样的错误其原因在于对运用用等式的性质与移项的区别没有分清;

(3)去括号的方法:括号外的因数是正数,去括号后各项的符号不变,括号外的因数是负数,去括号后各项符号应变号;

(4)去分母:要去分母,我们首先要找准方程中的各分母,然后再利用等式性质2,在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,即可达到去分母的目的。

初中函数有哪些

一次函数,二次函数,反比例函数,三角函数

一次函数:在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,也就是说x是自变量,y是因变量。表示为y=kx+b(k≠0,k、b均为常数),当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx,常数k叫做比例系数。

二次函数:一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量(通常为x)和因变量(通常为y).右边是整式,且自变量的最高次数是2。

反比例函数:函数y=k/x(k为常数,x不等于0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是函数值自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

三角函数:正弦函数=对边/斜边正切函数=对边/邻边余弦函数=邻边/斜边

初中数学差怎么补救

1.课前预习。课前先看看书,看你能够理解多少,尤其是有些涉及到前面的知识,如果不懂就可以叫老师协助。

2.课中认真。认真有两个层面:

(1)认真聆听老师的讲解,弄清楚前面预习时不懂之处;

(2)利用课堂练习检验自己是否弄明白了,尤其要关注做得不对的地方,把它圈起来,弄明白为什么错。

3.课后巩固。

(1)说课讲课,说说今天学习的内容并进行梳理;再次回顾做错的地方;

(2)着眼基础进行练习,适当多点以达到巩固的目的。

3)着眼提高适当进行少量的较难的练习,促进自己的灵活运用能力。

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