这次帅气的小编为您整理了模糊数学论文（优秀4篇），您的肯定与分享是对小编最大的鼓励。
关键词：模糊神经网络；股票预测
一、引言
中国股市经过十余年的发展，应该说已经取得十分巨大的成就，但是与国外成熟股市相比仍然是一个新兴市场。事实上，探索和研究股票价格波动的复杂性和规律性，是许多经济工作者，尤其是证券研究者一直追求的目标。
股票交易数据预测是一种时间序列预测方法。时间序列预测法是依据预测对象过去的统计数据，找到其随时间变化的规律，建立时序模型，以判断未来数值的预测方法。其基本思想是：过去的变化规律会持续到未来，即未来是过去的延伸。一般一维时间序列预测方法有移动平均与分解方法、指数平滑方法、状态空间模型等。这些预测方法经过长期的发展，在定量预测模型和定性预测模型等方面都有长足的进步。但是，当系统具有较强的非线性时，这些方法的适应性却是有限的，在实际的预测环境中常常失去效用，因此用这些传统的预测方法解决这类问题十分困难。
二、神经网络和模糊逻辑结合的可能性
神经网络的兴趣在于人脑的微观结构。并通过有自学习、自组识、自适应功能的神经网络上的非线性并行分散动力学，对无法语言化的模式信息进行处理。模糊逻辑根据人为定义的隶属函数和一系列并串行的规则，用逻辑推理去处理各种模糊性的信息，是通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具。尽管“模糊”这个词在这里容易使人产生误解，实际上在模糊逻辑控制中的每一个特定的输入都对应着一个实际的输出。所以模糊逻辑本身并不模糊，模糊逻辑并不是“模糊的”逻辑，而是用来对“模糊”进行处理以达到消除模糊的逻辑，它是一种精确解决不精确、不完全信息的方法，其最大特点就是用它可以比较自然地处理人的概念，是一种更人性化的方法。在处理数据时，模糊逻辑更能容忍噪音干扰和元器件的变化，使系统适应性更好模。糊逻辑还对使产品开发周期缩短而编程更容易。通过模糊化样本，提高了样本集中各样本的质量，进而改进能量函数。用神经网络去预测股票，在对信息的推理上还存在相当大的困难；而在信息的获取方面，模糊技术也显得十分软弱。
因此本文根据模糊逻辑和神经网络的各自长处把它们结合起来，利用这种方法对股票预测进行研究。模糊系统提供了一种推论式语句用来逼近人的推理能力和并且应用到基于知识的系统中。模糊逻辑理论是用一种数学工具来获取人们认知过程。然而，模糊逻辑中有个共同的瓶颈是它们都依赖于由领域专家给出的规则，而且，不存在正式的框架来选择模糊系统的各种参数，因此，调整参数的方法是模糊系统的一个重要研究课题。另一方面，神经网络所具有一些重要的有点，比如学习能力、自适应能力、容错能力等，所以神经网络能够处理复杂的、非线性的以及不确定性问题。正是因为如此，可以相信它们具有构建与人们人之有关的各种行为的潜能。但是神经网络的主要问题是它没有明确的物理意义，使用者不知道这些网络是如何运转的。这就是为何神经网络总是被称为“黑箱”的原因。对以一个训练好的神经网络，其连接权值不能清楚地说明网络是如何处理数据的，其含义是什么。特别是，现在的神经网络理论还没有提供一种方法来预测训练好了的网络的输出。因此，在实际应用中造成了一些不确定性。
把模糊系统和神经网络的结合成为模糊神经网络，该网络致力于获得两种系统的优点而克服各自的缺点。正如前文提到的，神经网络的优点在于，第一个是能够生成不需要明确表现知识的规则；第二个是其强大的自学能力。模糊系统的优点在于，第一个是能用模糊性的语言表达知识；第二个是能用简单的预算来实现知识的模糊推理。两者的结合可以解决模糊系统中的只是抽取问题以及专家知识也能很容易融合到神经网络中，避免了初值选择的任意性。
三、模糊神经网络的模型设计
1、模型的结构
模糊神经网络与一般的神经网络相类似，通常分为前向型模糊神经网络和反馈型模糊神经网络两类。本文采用的就是前向型模糊神经网络。该网络是可以实现模糊映射关系的模糊神经网络。一个前向型模糊神经网络可分为五层组成，分别为输入层、模糊化层、模糊推理层、去模糊化层和输出层。图1-1为含有两个输入层节点、一个输出节点的一个基本前向模糊神经网络结构。
输入层指的是接受外部输入信号的一层，并将输入值传送给模糊化层的模糊单元；模糊化层的作用是按模糊规则将输入值转换为一定的模糊度，是对模糊信息进行预处理的网层。模糊推理层是前向型模糊神经网络的核心，其网络参数是由具体问题所确定的；去模糊化层接受经中间层处理的数据，并按照模糊度函数将数据进行非模糊化处理；最后输出层给出确定性求解结果。
本文采用的是TS模糊神经网络。该神经网络分为输入层、模糊化层、模糊规则计算层和输出层(包括去模糊化)。输入层与输入向量xi连接，节点数与输入向量的维数相同。模糊化层采用隶属度函数(公式1-1)对输入值进行模糊化得到模糊隶属度值μ。模糊规则计算层采用模糊连乘(公式1-2)计算得到φ。输出层采用(公式1-3)计算模糊神经网络的输出。下面给出各公式：
1-1
式中，分别为隶属度函数的中心和宽度；k为输入参数；n为模糊子集数。
1-2
1-3
式中为模糊系统参数。
2、模糊神经网络的学习算法
(1)误差计算
式中，yd为网络期望输出；yc是网络实际输出，e为期望输出和实际输出的误差。
(2)系数修正
式中，为神经网络系数；α为网络学习率；xj为网络输入参数；φi为输入参数隶属度连乘积。
(3)参数修正
式中，、分别为隶属度函数的中心和宽度。
3、预测模型的结构设计和参数的设定
网络结构的选择需要考虑以下因素：软硬件实现的难易程度、训练速度和网络的推广能力等，其中网络的推广能力是最主要的，网络结构设计至今还没有确定的方法可循。14世纪的法国修道士 提出过一个最简单原则：“与己知事实满意符合(一致)的理论中最简单者就是最好的理论”,后人称此原则为“奥克姆剃刀”。由此产生了一个公认的指导原则：“在没有其他经验知识时，能与给定样本满意符合(一致)的最简单(规模最小的网络就是最好的选择”。这相当于在样本点的误差在允许范围条件下用参数最少的模型去逼近一个未知的非线性映射。
从总体上来说，网络结构设计并没有固定可循的步骤，有许多参数要靠经验选择，并通过试验加以比较。规模小的网络的泛化能力强，同时也易于理解和抽取规则、知识，便于软硬件实现。通常情况下，由于训练样本有限，所以把泛化能力作为主要要求，强调选择能达到要求的最小网络。理论证明，一个三层网络可以任意逼近一个非线性连续函数。
基于T-S模糊神经网络的算法流程如图1-2所示。其中模糊神经网络构建根据训练样本维数确定模糊神经网络的输入和输出的节点以及模糊隶属度函数个数。由于输入数据为开盘价，最高价，最低价，收盘价这四组数据，所以为n=4维的，输出的是次日的开盘价格即输出数据为1维的。在模糊化层中，该层有nm个节点，利用K-means法对样本进行聚类分析得到模糊规则数以确定m。在聚类分析得出m=2所以得到节点数为8,该模糊神经网络的结构为4-8-1。在根据T-S的模型，所以选择5组系数ρi。
虽然权值随迭代而更新，一般都是收敛的，但是如果初始值设置的太大的话会影响该网络，会使网络饱和的很快。初始的权值对收敛速度也会造成影响。实验表明，初始权值只要不是过大，对网络整体的性能的影响并不大，一般可选在(-0.5,0.5),本文取权值为0。由于本文的隶属度函数利用的是高斯函数，所以高斯函数中的中心和宽度随机得到。
在学习率和网络参数的选择上，若选择的太小，会使网络参数修改量过小，收敛的速度缓慢；若选择的太大，虽然可以加快了学习的速度，但是有可能导致在稳定点附近进行持续的振荡，难以收敛，目前在理论上还没有明确的确定学习率的方法，对于具体问题需要进行试验，通过实验比较出适合的学习率，本文在通过实验选取学习率为0.025,网络参数选取0.001,最大迭代次数选取为100。
四、实证分析
1、预测的效果
选取绿景地产(000502)2010年1月20日连续120个交易日的数据作为训练和预测样本。其中使用前100个交易日的指标作为训练样本训练网络，用后20个数据进行样本预测。
如图1-3为训练网络的效果图，该结果是用归一化后的数据。
表 1-1列出真实值和预测值以及预测的相对误差((真实值-预测值)/真实值):
2、网络性能的评价
对神经网络常用的预测性能的评价指标常用的有RRMS,MPE,mpe,PC。选取绿景地产(000502)2010年1月20日连续120个交易日的数据作为训练和预测样本。其中使用前100个交易日的指标作为训练样本训练网络，用后20个数据进行样本预测。本系统的各项性能指标如下：
相对均方根误差：RRMS=0.63%最大误差：MPE=0.19元 正确趋势率：PCD=65%
从以上指标看出用该模糊神经网络进行预测是有效的，预测系统式成功的。
五、总结
股票市场是反映经济的“晴雨表”,其作用不但被政府重视，而且受投资大众的普遍关注，股票市场中的收益伴随着风险，以最小风险获得最大收益是每个投资者的目标，所以研究股票市场内在规律及其预测具有重大的意义和应用的价值。股票交易数据预测是时间序列预测。在股票市场这个极其复杂的系统中，它所具有的非线性和高噪声等因素决定了股票预测的过程的复杂与困难，传统预测方法很难应用于此，难以建立有效的数学模型。
神经网络是一种很好的时间序列预测方法。神经网络具有逼近任意复杂连续函数关系的能力，而这些能力正是传统方法所不具有的。本文把模糊逻辑和神经网络相结合起来，首先介绍了模糊系统和神经网络的基本知识以及二者结合的可能性。然后建立模糊神经网络模型并用于股票价格的预测，运用相关分析在剔除了与预测指标相关性较小的指标，简化了模糊神经网络的结构，并在实际的试验中确定了相关网络系数的初始值，简要的介绍了建模的工具，并用设立模糊等级对模糊神经网络的有效性进行了评价，在通过实证分析证实了网络系统基本上达到了预想的要求。
参考文献：
[1]胡守仁，神经网络应用技术[M],国防科技大学出版社，1993
[2]赵振宇，模糊理论和神经网络的基础与应用[M],清华大学出版社，1996
[3]刘增良，模糊逻辑与神经网络[M],北京航空航天大学出版社，1996
[4]吴华星，基于神经网络的股票价格预测，中国科学院计算技术研究所，1998
[5]姚培福，人工神经网络在股票预测中的应用与研究，昆明理工大学硕士学位论文，2007
关键词：FCM，Gap，聚类有效性
一 引言
聚类分析是数理统计中研究“物以类聚”的一种方法。聚类分析是一种无监督分类工具，其目的是在没有先验知识的前提下基于某个相似性度量找出属于同一属性集的数据，继而将数据对象集合分成不同的类，因此它是挖掘数据未知的、具有潜在应用价值的信息的一种很好的方法。介于其在海量数据处理中显现出的优势，使得它在数据挖掘、模式识别、图像处理、经济学(尤其是市场研究方面)等领域得到了广泛的应用。免费论文。然而，正是由于聚类分析的无监督特性，导致了数据最佳的聚类数很难确定，这就是聚类分析面临的最主要的问题。免费论文。
二 FCM方法
经典分类学是从单个因素或有限几个因素出发，凭经验和专业知识对事物分类，这种分类具有非此即彼的特性，分出的类别界限很清晰。免费论文。随着认识的深入，发现这种分类不适用于具有模糊性的分类问题，如图像中的区域之间的边界就往往是模糊不清的。1965年，Zadeh提出了著名的模糊集理论，创建了一个新的学科—模糊数学。
用普通数学方法进行分类的聚类法称为普通聚类分析，而把应用模糊数学方法进行分析的聚类分析称为模糊聚类分析。。。在实际中应用最为广泛的是模糊C一均值算法(FCM:Fuzzy C-Means)。。FCM算法首先是由为Ruspini提出的，但真正有效的方法是由Dunn给出的。1974年Dunn将硬C--均值聚类算法推广到模糊情形，同年Bezdek将Dunn的方法一般化，给出了基于目标函数模糊聚类的一般描述：
其中，表示隶属第类的隶属度函数，表示与的距离，为平滑指数。聚类准则为取为极小值。
1980年Bezdek证明了模糊C-均值聚类算法的收敛性并讨论了模糊C一均值聚类算法与硬C一均值聚类算法的关系。从此，基于目标函数的模糊聚类方法蓬勃发展起来。
三 模糊聚类有效性函数
不少学者为估计数据集存在的最佳聚类数进行了大量地研究，基于模糊聚类分析的最佳聚类数的研究，也取得了丰富的成果。1974年，Dunn给出了如下的有效性判别函数：
其中，
1974年，Bezdek给出了如下有效性判别函数：
1991年，X.L.Xie和G.Beni定义了如下有效性判别函数，在实际应用中取得很好的效果。
四 一种新的聚类有效性函数
2000年， Tibshirani R等提出了Gap统计量，并用它来估计最佳聚类数。方法通过引入一个参考分布，用gap统计量刻画样本观察值与它们在这个参考分布下的期望值之间的差异，最后通过这个统计量得到最佳聚类数的估计。
其中，表示在某参考分布下的期望，一维情况下通常取均匀分布为参考分布，最佳聚类数即出现在取最大值时。
实验证明应用Gap统计量确定最佳分类数取得比较好的效果，但同时我们注意到Gap统计量方法只考虑了数据的几何特征，没有考虑到数据分类的模糊性，所以我们对Gap统计量的方法加以改进，引入数据的模糊特性，从而使分类数的确定更加合理准确。具体方法如下：
令，其中是隶属第i类的隶属度函数，是第i类的质心（均值）。从而定义函数：
表示在某参考分布下的期望，一维情况下通常取均匀分布为参考分布。这样最佳聚类数出现在取最大值时。
参考文献：
1. 黄陈蓉 张正军 吴慧中。 图像分割的Gap统计模型[J]. 计算机科学。2005.
2. 张正军 李建军 刘力维。 标准化水平的Gap统计量的零件图像分割数估计[J]. 中国制造业信息化。2007
3. 李娜 刘力维 张正军。 基于GS方法的图像最佳分割的研究。 南京理工大学硕士学位论文。2006
4. 张爱华 余胜生。 基于模糊聚类分析的图像分割技术研究。 华中科技大学博士学位论文。2004
关键词：模糊综合评判 正射影像 影像质量
中图分类号： O185 文献标识码： A 文章编号：
前言
综合评判是对有多种属性的事物，或者说其总体优劣受多种因素影响的事物，做出一个能合理地综合这些属性或因素的总体评判。例如，产品质量的评估就是一个多因素、多指标的复杂的评估过程，不能单纯地用好与坏来区分。而模糊逻辑是通过使用模糊集合来工作的，作为一种精确解决不精确不完全信息的方法，其最大特点就是用它可以比较自然地处理人类思维的主动性以及模糊性。因此对这些诸多因素进行综合，才能做出比较合理的评价，在大多数情况下，评判涉及模糊因素，用模糊数学的方法进行评判是一条可行的，而且也是一条较好的途径。
模糊综合评判提供了一种研究模糊现象的工具，在具体应用上也并不复杂，重要的是在所研究领域引入这种概念和方法。模糊数学引入国内后，在医学、经济、气象、农业等领域得到许多应用，这大概是由于在这些部门中存在大量模糊现象，但在遥感领域中，模糊数学应用的比较少，但随着遥感业在国内的兴起和发展，这些理论也逐渐被引入其中。
正射影像是遥感业的主要产品之一，随着遥感测量业的发展，相继有大量的数字正射影像图被生产，对其质量进行快速、合理、科学的评价，已成为测量人士研究的一个方面。基于正射影像质量由多种因素决定，每种因素又是比较模糊的概念，本文决定采用模糊综合评判的方法。
2．模糊综合评判理论
2.1 模糊向量与隶属函数
设A是论域X上的一个模糊子集，。
由于模糊子集具有外延的不确定性，用数值表示元素xi属于该模糊子集A的程度，称为xi的隶属度， 称为A的隶属函数，其取值区间为[0,1]。由隶属度组成的向量称为模糊向量，模糊向量具有两重性：①表示一个模糊子集。②表示一个模糊关系。例如：A=(0.4,0.2,0.8,0.6)表示模糊子集A由4个元素组成，每个元素隶属于该模糊子集的程度不同，数值越大表示隶属程度越高，数值越小表示隶属程度越低。
隶属函数是模糊数学中的一个重要概念。研究模糊现象首先就要确定它的隶属函数，隶属函数的确定通常取决于模糊现象的具体特性，通常采用的求得方法为经验估计，统计计算，函数计算等。
2．1 模糊关系和模糊矩阵
设有两个有限集X和Y，X=（x1,x2,,xn）,Y=(y1,y2,,ym), 称的模糊子集R为X到Y模糊关系，记做。R的隶属函数，表示，具有模糊关系R的程度。模糊关系可以用一个矩阵R表示
,=,0≤≤1
称这样的矩阵为模糊关系矩阵，或简称模糊矩阵。
2．3 模糊关系的合成与模糊算子
设模糊矩阵表示两个模糊关系，则R和S的合成运算定义为：,其中
R=，S=，Q=，。
模糊矩阵的合成运算对应于相应的模糊关系合成。
模糊算子“﹡”是指在模糊计算过程中模糊向量运算规则，可以根据模糊合成的概念构造不同的模糊算子，最常用的有以下几种算子：
() 表示两个模糊向量对应元素两者相乘 结果取大；
()表示两个模糊向量对应元素两者相乘 结果求和；
()表示两个模糊向量对应元素两者取小 结果取大。
3．应用模糊综合评判理论对正射影像进行评价
3．1 确定影响正射影像质量各因素的隶属函数并建立模糊关系矩阵
根据以前对正射影像进行质量评定的经验和原则，取X为评价因素集，Y为评语集。即
X={x1位置精度，x2含云量，x3图象色彩}
Y=（y1很好，y2好，y3一般，y3差）
由于位置精度和含云量都是可以实际计算的量，对其相对各种评语隶属度的计算，采用定量分析的方式。而图象色彩，我们主要采用定性分析，其相对各种评语的隶属度采用经验评估的方式得出。
3.1.1 影像的位置精度和含云量的隶属函数如下图；
图1影像位置精度的隶属函数图像
Fig1 the membership function image of location accuracy of images
图2影像含云量的隶属函数图像
Fig2 The membership function image of cloud contained in the images
3.1.2 建立影像位置精度和含云量的隶属函数
由图1得影像位置精度的隶属函数如下：
由图2得影像含云量的隶属函数如下：
3.1.3 建立图像色彩的隶属度函数
对图像色彩相对各种评语隶属度的确定，采用经验评估的方式，即：针对特定图像，我们找来n专业个人士对它的m个评语，给出相应的隶属度值，再对这些隶属度取平均，即得出较合理，较准确的图像色彩隶属度，采用下面公式进行计算：
Yj=1/n (j=1,2.,,m)
其中Yj为第j种评语的隶属度，aij为底i个人针对第j个评语给出的经验值。
3.1.4 得出模糊关系矩阵
根据以上图像质量各种影响因素隶属度的确定方式，得出实际待评价图像的模糊关系矩阵，并采用一定方法得出各因素的影响权重。需要强调图像位置精度的确定，采用找出一系列明显地物点的位置精度，然后对其求平均，做为该幅影像的位置精度。含云量的确定采用面积统计的方式求出，即求出云面积占总图像面积的百分比。
最后得出模糊关系矩阵如下：
表1模糊关系矩阵
Tab.1 Fuzzy relation matrix
考虑评价正射影像以位置精度为最重要，含云量次之，图像色彩不太重要，故权重分配为： A=(0.7,0.25,0.05)
3.2 对隶属度矩阵和权值矩阵进行模糊矩阵复合运算，并对结果进行分析。
利用“∧，∨”算子进行模糊矩阵复合运算，得出模糊评价结果矩阵 =(0.05,0.6,0.4,0)。模糊评价结果矩阵实际上是一个一维向量，它包含4个元素，依据最大隶属度原则，可以由结果矩阵得出评价结果，图像质量好。这与我们专业人士直接的评价结果很吻合。
4．结论
采用模糊综合评判的方法，对遥感正射影像质量进行评价，较主观评价更科学，更合理，更具有可信度。因为其中考虑了多个影响图像质量的因素，并依据其对图像质量影响的程度给出相应的权重。模糊综合评判方法，对专业人士来说可能不是那么重要，但却给非专业人士提供了合理确定图像质量的好方法。
本文依据现有经验，仅考虑了几个影响因素，在以后工作过程中，还可能发现更多影响图像质量的因素，都可以加入这个评判过程，使所得评价结果更接近客观实际。
参考文献
[1] 杨纶标，高英议．《模糊数学原理及应用》[M]，华南理工大学出版社，2006
[2] 郭嗣琮，陈刚．《信息科学中的如软计算方法》[M]，沈阳：东北大学出版社，2001
[关键词] 灰色模糊评价 项目投资 决策分析
项目投资决策需要考虑很多不确定的影响因素，选用单项财务指标进行评价，其本身都有一定的片面性，根据不同的指标值来决策有可能会得出不同的结果。综合考虑财务因素和非财务因素，对项目进行综合评价能够选择那些最优的项目方案。本文尝试应用灰色模糊综合评价方法进行项目投资决策分析。
一、灰色模糊综合评价的特点和方法综述
项目投资决策领域中普遍存在不确定性决策问题，不确定性主要有：一个是主观不确定性，即人的思维模糊性；另一个是信息不完全、不充分所造成的客观不确定性，即灰性。在一个信息不完全的问题中，往往存在许多模糊的因素；具有模糊因素的一个问题可能不具备完全充分的数据与信息。灰色是量的概念，模糊是质的范畴。因此用灰色模糊概念来探讨项目投资决策问题，能够更好地构建具有柔性的决策模型，且使决策结果更加接近实际。
许多学者对灰色模糊综合评价进行了研究，笔者归纳分析主要有以下几种方法：(1)用灰色关联分析选定评定因素，确定权重集，进行模糊综合评判；（2）运用灰色系统理论确定评估灰类，计算灰色评估系数，得出灰色评估权向量和矩阵，依据模糊数学理论形成评判矩阵，进行模糊评价；（3）将评价对象的模糊综合评判结果矩阵视为比较数列，计算各个比较数列和各参考数列的灰色关联度，根据关联度大小对评价对象进行优劣排序；（4）使用模糊综合评判和灰色关联综合评价法，分别进行评判，然后再将结果进行综合集成；（5）用模糊数学中的广义距离来表示参考序列和比较序列的差异程度，然后用灰色关联分析法进行综合评判；（6）根据灰色理论的差异信息原理，构造灰色隶属度算子，形成新的模糊隶属度矩阵，然后进行模糊综合评判；(7)以灰色模糊关系为基础，将隶属度和灰度综合到评判过程中，进行灰色模糊综合评判；（8)根据灰色模糊数学理论，用区间数来表示隶属度，并将隶属度和灰度综合起来，建立区间数灰色模糊综合评判数学模型，进行评价；（9）使用灰色关联系数法构建模糊评判矩阵，然后再进行模糊综合评判。
基于灰色关联分析的模糊综合评价法，方法简便，易于操作。综合考虑项目投资指标的特点，本文采用此法进行投资决策分析。
二、灰色模糊综合评价的数学模型的建立
1.建立综合评价的因素集。因素集是以影响评价对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合，通常用u表示，即：u=（u1, u2,…,um)，其中元素ui（i=l,2，…，m）代表影响评价对象的第i个因素。
2.确定因素权向量。评价工作中，各因素的重要程度有所不同，为此，给各因素ui（i=1, 2，…，m）确定一个权重ai(i=1,2，…，m)，各因素的权重集合的模糊集，用A表示：A=(a1, a2，…，am）。
3.基于灰色关联分析的模糊关系矩阵
(1)确定比较数列（评价对象）和参考数列（评价标准）设评价对象为m个，评价指标为n个，则比较数列为
用矩阵形式可表示为：
式中（1）
为第i个方案的第k个指标的评价值；取每个指标的最佳值为参考数列的实体，则有参考数列
式中
(2)指标值的规范化处理要确定数列的灰关联系数，需要对数据列进行生成处理。对时间序列数据的处理，常用的处理方法有：初值化，最小值化，最大值化，平均值化，区间值化等。对于非时间序列的数据不存在运算关系，采用指标区间值化，归一化，标准化等处理方法。本文采用规范化公式：
（2）
利用(2)式对(1)式进行规范化处理
(3)确定灰关联系数
其中：是分辨系数，且，通常取为0.5
以几何意义来讲，关联系数与隶属度是相似的，于是可得模糊关系矩阵[9]
(4)建立综合评价模型。确定R 、A之后，通过模糊变换将u上的模糊向量A变为v上的模糊向量B，即：
其中，“・”称为广义模糊综合评价合成算子有无穷多种，但实际中经常采用的有几种，本文根据具体情况采用加权平均法，上式即为综合评价模型。
(5)模糊评价。根据各个因素在评判集上的隶属度。得到评判指标之后，便可根据最大隶属原则选择最大评判指标max bj所相对应的方案为评判结果。
三、应用
某工程有以下四种方案，现使用灰色模糊综合评价进行分析
1.选择评价指标，建立评价指标集。根据具体情况，选择总投资额、投资回收期、期望净现值、内部收益率、环境影响评价作为评价指标，组成评价指标集。
2.确定权重。根据德尔菲法，由专家确定各指标权重（0.25 0.15 0.3 0.2 0.1）
3.确定最有指标集，构造初始矩阵并规范化
4.计算灰色关联系数并建立灰色模糊关系矩阵
5.模糊评价
由前面求得的A、R,根据B=A・R,可得B=（0.4555 0.758 0.793 .0375）即方案1、2、3、4的评价值分别为0.4555，0.758，0.793，0.375。根据最大隶属原则，方案3为最优方案。
四、结论
灰色模糊综合评价模型及其算法，具有严密的数学逻辑推理，方法简便易行，应用于项目投资决策分析具有较高的实践价值。
参考文献：
[1]吴红华：灾害损失评估的灰色模糊综合方法[J].自然灾害学报，2005（4）
[2]徐维祥张全寿：一种基于灰色理论和模糊数学的综合集成算法[J].系统工程理论与实践，2001（4）
[3]张辉高德利：基于模糊数学和灰色理论的多层次综合评价方法及应用[J].数学的实践与认识，2008（2）
[4]吕钱英黄霞邱淑芳：基于模糊数学和灰色理论的环境质量评价研究进展[J].江西科学，2008(4)
[5]于志鹏陆愈实：模糊灰色关联法在分析安全投资因素与效益关系中的应用[J].中国安全科学学，2007（3）
[6]陈光：模糊灰色在安全评价中的应用[J].矿业安全与环保，2006（2）
[7]卜广志张宇文：基于灰色模糊关系的灰色模糊综合评判[J].系统工程理论与实践，2002（4）
[8]朱绍强孟科张临喜：区间数灰色模糊综合评判及其应用[J].电光与控制，2006(6)